FANDOM


Метрические пространства

Опр. Метрическим пространством называется пара $ (X, \rho) $, состоящая из некоторого множества (пространства) $ X $ элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции $ \rho(x,y), $ определённой $ ~\forall x,y\in X $ и подчинённой трём аксиомам:

  1. $ \rho(x,y) = 0 $ тогда и только тогда, когда $ x=y $,
  2. $ \rho(x,y) = \rho(y,x) $ (аксиома симметрии),
  3. $ \rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) $ (аксиома треугольника).


Введём обозначение:

$ R = (X, \rho) $.

Сепарабельные пространства

Опр. Точка $ x\in R $ называется точкой прикосновения множества $ M\subset R $, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из $ M $.

Опр. Совокупность всех точек замыкания множества $ M $ обозначается $ [M] $ и называется замыканием данного множества.

Опр. Множество $ A $ называется всюду плотным (в пространстве $ R $), если его замыкание $ [A] $ совпадает со всем пространством $ R $.

Опр. Пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество, называется сепарабельным.

Полные пространства

Опр. Последовательность $ \{x_n\} $точек метрического пространства $ R $ будем называть фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

$ \forall \varepsilon > 0~\exist N_{\varepsilon}:~\rho(x_{n'}, x_{n''})<\varepsilon,~\forall n'>N_{\varepsilon},~n''>N_{\varepsilon}. $

Опр. Если в пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Евклидово пространство

Опр. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве $ R $ называется действительная функция $ (x, y) $, определённая $ ~\forall x,y\in X $ и удовлетворяющая следующим условиям:

  1. $ (x, y) = (y, x) $,
  2. $ (x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y) $,
  3. $ (\lambda x, y) = \lambda(x, y) $,
  4. $ (x, x) \ge 0 $, причём $ (x, x)=0 $ только при $ x=0 $.

Опр. Линейное пространство с фиксированным в нём скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовым пространстве $ R $ вводится норма с помощью формулы

$ \|x\|=\sqrt{(x, x)} $.

При этом справедливо уравнение Коши-Буняковского

$ |(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\| $.

Доказательство: Пусть $ z = \lambda x + y $, тогда

$ \|z\|^2 = (\lambda x + y, \lambda x + y) = \lambda^2(x, x) + 2\lambda(x,y) + (y, y) = $
$ =\lambda^2\|x\|^2 + 2\lambda(x,y) + \|y\|^2 $,

но так как $ \|z\|\ge 0 $ по определению нормы, то дискриминант меньше или равен нулю:

$ 4(x, y) ^ 2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\le 0 \Rightarrow |(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\| $

Гильбертово пространство

Опр. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.