FANDOM


Метрические пространства

Опр. Метрическим пространством называется пара (X, \rho), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции \rho(x,y), определённой ~\forall x,y\in X и подчинённой трём аксиомам:

  1. \rho(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y,
  2. \rho(x,y) = \rho(y,x) (аксиома симметрии),
  3. \rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) (аксиома треугольника).


Введём обозначение:

R = (X, \rho).

Сепарабельные пространства

Опр. Точка x\in R называется точкой прикосновения множества M\subset R, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из M.

Опр. Совокупность всех точек замыкания множества M обозначается [M] и называется замыканием данного множества.

Опр. Множество A называется всюду плотным (в пространстве R), если его замыкание [A] совпадает со всем пространством R.

Опр. Пространство, в котором имеется счётное всюду плотное множество, называется сепарабельным.

Полные пространства

Опр. Последовательность \{x_n\}точек метрического пространства R будем называть фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

\forall \varepsilon > 0~\exist N_{\varepsilon}:~\rho(x_{n'}, x_{n''})<\varepsilon,~\forall n'>N_{\varepsilon},~n''>N_{\varepsilon}.

Опр. Если в пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Евклидово пространство

Опр. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве R называется действительная функция (x, y), определённая ~\forall x,y\in X и удовлетворяющая следующим условиям:

  1. (x, y) = (y, x),
  2. (x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y),
  3. (\lambda x, y) = \lambda(x, y),
  4. (x, x) \ge 0, причём (x, x)=0 только при x=0.

Опр. Линейное пространство с фиксированным в нём скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовым пространстве R вводится норма с помощью формулы

\|x\|=\sqrt{(x, x)}.

При этом справедливо уравнение Коши-Буняковского

|(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\|.

Доказательство: Пусть z = \lambda x + y, тогда

\|z\|^2 = (\lambda x + y, \lambda x + y) = \lambda^2(x, x) + 2\lambda(x,y) + (y, y) =
=\lambda^2\|x\|^2 + 2\lambda(x,y) + \|y\|^2,

но так как \|z\|\ge 0 по определению нормы, то дискриминант меньше или равен нулю:

4(x, y) ^ 2 - 4\|x\|^2\|y\|^2\le 0 \Rightarrow |(x, y)|\le \|x\|\cdot\|y\|

Гильбертово пространство

Опр. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.